已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x=tcosαy=tsinα（t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos（θ-α）=2sin（α+π6

Question

已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l₂的极坐标方程是ρcos（θ-α）=2sin（α+(π)/(6)）．
（Ⅰ）求证：l₁⊥l₂
（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，(π)/(3)），P为直线l₁，l₂的交点，求|OP|•|AP|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：直线l₁的参数方程为

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数）；
消去参数t可得：直线l₁的普通方程为：xsinα-ycosα=0．
又直线l₂的极坐标方程是ρcos（θ-α）=2sin（α+(π)/(6)）．展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+(π)/(6)）．
即直线l₂的直角坐标方程为：xcosα+ysinα-2sin（α+(π)/(6)）=0．
因为sinαcosα+（-cosα）sinα=0，
根据两直线垂直的条件可知，l₁⊥l₂．
（Ⅱ）当ρ=2，θ=(π)/(3)时，ρcos（θ-α）=2cos((π)/(3)-α)=2sin（α+(π)/(6)）．
所以点A（2，(π)/(3)），在直线ρcos（θ-α）=2sin（α+(π)/(6)）上．
设点P到直线OA的距离为d，由l₁⊥l₂可知，d的最大值为(|OA|)/(2)=1．
于是|OP|•|AP|=d•|OA|=2d≤2
所以|OP|•|AP|的最大值为2．