在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为x=4+ty=3t+6（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρtanθ=8sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C

Question

在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为

x=4+t

y=3t+6

（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρtanθ=(8)/(sinθ)．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

（1）∵直线l的参数方程为

x=4+t

y=3t+6

（t为参数），
∴消去参数t得直线l的普通方程为y=3x-6，
∵曲线C的极坐标方程为ρtanθ=(8)/(sinθ)，
∴ρtanθsinθ=8，即ρsin²θ=8cosθ，
∴ρ²sin²θ=8ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=8x．
（2）∵抛物线y²=8x的焦点是F（2，0），且直线l过抛物线的焦点F，
设直线l与曲线C交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=3x-6

y2=8x

，得9x²-44x+36=0，
∴x1+x2=(44)/(9)，
∴|AB|=x1+x2+p=(44)/(9)+4=(80)/(9)，
∴直线l被曲线C截得的弦长为(80)/(9)．