已知曲线C1的参数方程为x=2t-1y=-4t-2（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=21-cosθ．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1

Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=2t-1

y=-4t-2

（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=(2)/(1-cosθ)．
（ I）求曲线C₂的直角坐标系方程；
（ II）设M₁是曲线C₁上的点，M₂是曲线C₂上的点，求|M₁M₂|的最小值．

Answer 1

（I）由ρ=(2)/(1-cosθ)可得ρ=x-2，∴ρ²=（x-2）²，即y²=4（x-1）；
（Ⅱ）曲线C₁的参数方程为

x=2t-1

y=-4t-2

（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．
∴曲线C₁的直角坐标方程为2x+y+4=0．
∵M₁是曲线C₁上的点，M₂是曲线C₂上的点，
∴|M₁M₂|的最小值等于M₂到直线2x+y+4=0的距离的最小值．
设M₂（r²-1，2r），M₂到直线2x+y+4=0的距离为d，
则d=(2|r2+r+1|)/(√(5))=(2[(r+(1)/(2))2+(3)/(4)])/(√(5))≥(3√(5))/(10)．
∴|M₁M₂|的最小值为(3√(5))/(10)．