在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为x=tcosαy=1+tsinα（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）设M（x，y）为曲线C上

Question

在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为

x=tcosα

y=1+tsinα

（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ．
（1）设M（x，y）为曲线C上的任意一点，求x+y的取值范围；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的最小值．

Answer 1

（1）由ρcos²θ=4sinθ，得（ρcosθ）²=4ρsinθ，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得x²=4y，
∴曲线C的直角坐标方程为x²=4y，
∵M（x，y）为曲线C上的任意一点，
∴x+y=x+(1)/(4)x2=(1)/(4)(x+2)2-1≥-1，
∴x+y的取值范围是[-1，+∞）；
（2）将直线l的参数方程代入x²=4y，得t²cos²α-4tsinα-4=0，
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则|AB|=|t₁-t₂|=(4)/(cos2α)，当cos²α=1时，|AB|的最小值为4．