在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosαy＝2+2sinα（α为参数）M是C1上的动点，P点满足OP=2OM，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系

Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x＝2cosα

y＝2+2sinα

（α为参数）M是C₁上的动点，P点满足

OP

=2

OM

，P点的轨迹为曲线C₂
（Ⅰ）求C₂的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=(π)/(3)与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|．

Answer 1

（I）设P（x，y），则由条件知M（(x)/(2)，(y)/(2)）．由于M点在C₁上，
所以

(x)/(2)＝2cosα

(y)/(2)＝2+2sinα

即

x＝4cosα

y＝4+4sinα

从而C₂的参数方程为

x＝4cosα

y＝4+4sinα

（α为参数）
（Ⅱ）曲线C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C₂的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ=(π)/(3)与C₁的交点A的极径为ρ₁=4sin(π)/(3)，
射线θ=(π)/(3)与C₂的交点B的极径为ρ₂=8sin(π)/(3)．
所以|AB|=|ρ₂-ρ₁|=2

作业帮用户 2017-11-04

问题解析

（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C₁的方程即可求出曲线C₂的方程；
（II）根据（I）将求出曲线C₁的极坐标方程，分别求出射线θ=(π)/(3)与C₁的交点A的极径为ρ₁，以及射线θ=(π)/(3)与C₂的交点B的极径为ρ₂，最后根据|AB|=|ρ₂-ρ₁|求出所求．

名师点评

本题考点：

简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．

考点点评：

本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．

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