已知曲线C1的参数方程式x=2cosφy=3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列

Question

已知曲线C₁的参数方程式

x=2cosφ

y=3sinφ

（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C₂上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，(π)/(2)）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C₁上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范围．

Answer 1

（1）∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²=4，
∵正方形ABCD的顶点都在C₂上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，
点A的极坐标为（2，(π)/(2)），∴A点直角坐标为（0，2），
点B的极坐标为（2，π），∴B点直角坐标为（-2，0），
点C的极坐标为（2，(3π)/(2)），∴C点直角坐标为（0，-2），
点D的极坐标为（2，2π），∴D点直角坐标为（2，0）．
（2）∵曲线C₁的参数方程式

x=2cosφ

y=3sinφ

（φ为参数），P为C₁上任意一点，
∴P（2cosφ，3sinφ），
令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²，
则 S=4cos²φ+（2-3sinφ）²+（-2-2cosφ）²+9sin²φ+4cos²φ+（-2-3sinφ）²+（2-2cosφ）²+9sin²φ
=16cos²φ+36sin²φ+16=20sin²φ+32，
∵0≤sin²φ≤1，∴S的取值范围是：[32，52]．