极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C1的极坐标方程为p=4（cosθ+sinθ），P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=OP，点Q的

Question

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C ₁ 的极坐标方程为p=4（cosθ+sinθ），P是C ₁ 上一动点，点Q在射线OP上且满足
OQ= OP，点Q的轨迹为C ₂ ．
（I）求曲线C ₂ 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（ II）已知直线l的参数方程为 （t为参数，0≤φ＜π），l与曲线C ₂ 有且只有一个公共点，求φ的值．

Answer 1

（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为（ρ ₀ ，θ）、（ρ，θ），
则 ρ=  ρ ₀ =  ×4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），
点Q轨迹C ₂ 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），
两边同乘以ρ，得ρ ² =2（ρcosθ+ρsinθ），
C ₂ 的直角坐标方程为x ² +y ² =2x+2y，
即（x﹣1） ² +（y﹣1） ² =2．
（Ⅱ）将l的代入曲线C ₂ 的直角坐标方程，
得（tcosφ+1） ² +（tsinφ﹣1） ² =2，
即t ² +2（cosφ﹣sinφ）t=0，
 t ₁ =0，t ₂ =sinφ﹣cosφ，
由直线l与曲线C ₂ 有且只有一个公共点，
得sinφ﹣cosφ=0，
因为0≤φ＜π，
所以φ=  ．