在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2=4y+4．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是x=tcosαy=tsinα（t为参数），l与C交于A，B

Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x²=4y+4．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（2）直线l的参数方程是

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|=8，求l的斜率．

Answer 1

（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程ρ²cos²θ-4ρsinθ-4=0；
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），
设A，B所对应的极径分别为ρ₁，ρ₂，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得cos²αρ²-4sinαρ-4=0，
∵cos²α≠0（否则，直线l与抛物线C没有两个公共点）
于是ρ1+ρ2=(4sinα)/(cos2α)，ρ1ρ2=-(4)/(cos2α)，|AB|=|ρ1-ρ2|=√((ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2)=(√(16cos2α+16sin2α))/(cos2α)=(4)/(cos2α)，
由|AB|=8得cos2α=(1)/(2)，tanα=±1，
所以l的斜率为1或-1．