在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+tcosαy=1+tsinα（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=42ρsin（θ+π4）-4．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标

Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=1+tcosα

y=1+tsinα

（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ²=4√(2)ρsin（θ+(π)/(4)）-4．
（Ⅰ）求曲线C₂的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）若曲线C₁与曲线C₂交于A、B两点，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵曲线C₂的极坐标方程为ρ²=4√(2)ρsin（θ+(π)/(4)）-4=4ρsinθ+4ρcosθ-4，
∴由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，
得到曲线C₂的直角坐标方程为：x²+y²=4y+4x-4，
整理，得：（x-2）²+（y-2）²=4，
∴曲线C₂表示以（2，2）为圆心，以2为半径的圆．
（Ⅱ）∵曲线C₁的参数方程为

x=1+tcosα

y=1+tsinα

（t为参数），
∴消去参数得曲线C₁的直角坐标方程为tanα•x-y-tanα+1=0，
当曲线C₁过圆心C₂（2，2）时，tanα=1，α=45°，
此时|AB|取最大值2r=2√(2)．
圆心C₂（2，2）到曲线C₁：tanα•x-y-tanα+1=0的距离为：
d=(|2tanα-2-tanα+1|)/(√(tan2α+1))=(|tanα-1|)/(√(tan2α+1))，
|AB|=2×√(r2-d2)=2√(2-(tan2α+1-2tanα)/(tan2α+1))=2√(1+(2tanα)/(tan作业帮用户2018-01-29扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议))