已知直线C1：x=1+tcosαy=2+tsinα（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ+22cos（θ+π4），且C1与C2相交于A，B两点；（1）当tanα=1时，判

Question

已知直线C₁：

x=1+tcosα

y=2+tsinα

（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ+2√(2)cos（θ+(π)/(4)），且C₁与C₂相交于A，B两点；
（1）当tanα=1时，判断直线C₁与曲线C₂的位置关系，并说明理由；
（2）当α变化时，求弦AB的中点P的普通方程，并说明它是什么曲线．

Answer 1

（1）当tanα=1时，直线C₁：

x=1+tcosα

y=2+tsinα

（t为参数）的普通方程为x-y+1=0，
曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ+2√(2)cos（θ+(π)/(4)），即ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1，圆心为（1，0），半径为1．  
圆心到直线的距离d=(2)/(√(2))=√(2)>1，∴直线C₁与曲线C₂相离；
（2）直线C₁：

x=1+tcosα

y=2+tsinα

（t为参数），代入（x-1）²+y²=1，可得（1+tcosα-1）²+（2+tsinα）²=1，
即t²+4tsinα+3=0，
设A，B对应的参数为t₁，t₂，∴t₁+t₂=-4sinα，
∴弦AB的中点P对应的参数为-2sinα，
设P（x，y），则x=1-2sinαcosα，y=2-2sin²α，
∴x-1=-sin2α，y-1=cos2α，
∴（x-1）²+（y-1）²=1，表示以（1，1）为圆心，1为半径的圆．