已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ-π3）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是x=2cosαy=2+2sinα（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线

Question

已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ-(π)/(3)）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是

x=2cosα

y=2+2sinα

（α为参数）．
（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；
（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．

Answer 1

（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ-(π)/(3)）=0，展开可得：ρ((1)/(2)sinθ-(√(3))/(2)cosθ)=0，化为：y-√(3)x=0．
曲线C的参数方程是

x=2cosα

y=2+2sinα

（α为参数），消去参数α可得：x²+（y-2）²=4，圆心C（0，2），半径r=2．
∴圆心C到直线l的距离d=(|2-0|)/(√(12+(-√(3))2))=1，
∴直线l被曲线C截得的弦长=2√(r2-d2)=2√(22-12)=2√(3)．
（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），
代入圆C的方程可得：（2x）²+（2y-2）²=4，化为：x²+y²-2y-3=0，
可得ρ²-2ρcosθ-3=0，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．