如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°．（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

Question

如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°．
（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；
（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，
分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间上角坐标系．
∵∠SDC=120°，
∴∠SDE=30°，
又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为√(3)．
则有D（0，0，0），S(−1，√(3)，0)，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．（4分）

（1）设平面SAB的法向量为

n

＝(x，y，z)，
∵

AB

＝(2，0−1)，

AS

＝(−1，√(3)，−2)．
则有

2x−z＝0

−x+√(3)y−2z＝0

，取x＝√(3)，
得

n

＝(√(3)，5，2√(3))，又

SC

＝(3，−√(3)，0)，
设SC与平面SAB所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜

SC

，

n

＞|＝(2√(3))/(2√(3)×2√(10))＝(√(10))/(20)，
故SC与平面SAB所成角的正弦值为(√(10))/(20)．（9分）
（2）设平面SAD的法向量为

m

＝(x，y，z)，
∵

AD

＝(0，0−2)，

AS

＝(−1，√(3)，−2)，
则有

−2z＝0

−x+√(3)y−2z＝0

，取x＝√(3)，得

m

＝(√(3)，1，0)．
∴cos＜

n

，

m

＞＝(n•m)/(|n|×|m|)＝(8)/(2√(10)×2)＝(√(10))/(5)，
故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是(√(10))/(5)．（14分）