（2014•广州模拟）如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4．（1）求证：PQ⊥平面ABCD；（2）求点P到平面QAD的距离．

Question

（2014•广州模拟）如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4．
（1）求证：PQ⊥平面ABCD；
（2）求点P到平面QAD的距离．

Answer 1

（1）证明：取AD的中点M，连结PM，QM．
因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM，从而AD⊥平面PQM．
又PQ⊂平面PQM，所以PQ⊥AD．
同理PQ⊥AB．
又AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD∩AB=A，所以PQ⊥平面ABCD．
（2）连结OM，则OM=(1)/(2)AB=2=(1)/(2)PQ．
所以∠PMQ=90°，即PM⊥MQ．
由（1）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD．
所以PM的长是点P到平面QAD的距离．
在Rt△PMO中，PM=√(PO2+OM2)=√(22+22)=2√(2)．
所以点P到平面QAD的距离为2√(2)．