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如图1,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE=3,BF=4,将△BCE沿BE折起至△PBE位置(如图2所示),连结AP、PF,其中PF=25.(Ⅰ)求证:PF⊥平面ABED;(Ⅱ)在线段PA上是否
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如图1,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE=3,BF=4,将△BCE沿BE折起至△PBE位置(如图2所示),连结AP、PF,其中PF=2
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(Ⅰ) 求证:PF⊥平面ABED;
(Ⅱ) 在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE?若存在,求出点Q的位置;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ) 求点A到平面PBE的距离.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ce2bb623819145d688d43f200a.jpg)
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(Ⅰ) 求证:PF⊥平面ABED;
(Ⅱ) 在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE?若存在,求出点Q的位置;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ) 求点A到平面PBE的距离.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ce2bb623819145d688d43f200a.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(本题满分14分)
(Ⅰ)连结EF,
由翻折不变性可知,PB=BC=6,PE=CE=9,
在△PBF中,PF2+BF2=20+16=36=PB2,
所以PF⊥BF…(2分)
在图1中,利用勾股定理,得EF=
=
,
在△PEF中,EF2+PF2=61+20=81=PE2,
∴PF⊥EF…(4分)
又∵BF∩EF=F,BF⊂平面ABED,EF⊂平面ABED,
∴PF⊥平面ABED.…(6分)
(Ⅱ) 当Q为PA的三等分点(靠近P)时,FQ∥平面PBE.
证明如下:
∵AQ=
AP,AF=
AB,
∴FQ∥BP…(8分)
又∵FQ不包含于平面PBE,PB⊂平面PBE,
∴FQ∥平面PBE.…(10分)
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF⊥平面ABED,
∴PF为三棱锥P-ABE的高.…(11分)
设点A到平面PBE的距离为h,
由等体积法得VA-PBE=VP-ABE,…(12分)
即
×S△PBEh=
×S△ABE•PF,
又S△PBE=
×6×9=27,S△ABE=
×12×6=36,
∴h=
=
=
,
即点A到平面PBE的距离为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cb8065380cd791231fae7ec6ae345982b2b78032.jpg)
(Ⅰ)连结EF,
由翻折不变性可知,PB=BC=6,PE=CE=9,
在△PBF中,PF2+BF2=20+16=36=PB2,
所以PF⊥BF…(2分)
在图1中,利用勾股定理,得EF=
62+(12−3−4)2 |
61 |
在△PEF中,EF2+PF2=61+20=81=PE2,
∴PF⊥EF…(4分)
又∵BF∩EF=F,BF⊂平面ABED,EF⊂平面ABED,
∴PF⊥平面ABED.…(6分)
(Ⅱ) 当Q为PA的三等分点(靠近P)时,FQ∥平面PBE.
证明如下:
∵AQ=
2 |
3 |
2 |
3 |
∴FQ∥BP…(8分)
又∵FQ不包含于平面PBE,PB⊂平面PBE,
∴FQ∥平面PBE.…(10分)
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF⊥平面ABED,
∴PF为三棱锥P-ABE的高.…(11分)
设点A到平面PBE的距离为h,
由等体积法得VA-PBE=VP-ABE,…(12分)
即
1 |
3 |
1 |
3 |
又S△PBE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴h=
S△ABE•PF |
S△PBE |
36×2
| ||
27 |
8
| ||
3 |
即点A到平面PBE的距离为
8
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