如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF＝25．（Ⅰ）求证：PF⊥平面ABED；（Ⅱ）在线段PA上是否

Question

如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF＝2√(5)．
（Ⅰ） 求证：PF⊥平面ABED；
（Ⅱ） 在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ） 求点A到平面PBE的距离．

Answer 1

（本题满分14分）
（Ⅰ）连结EF，
由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF²+BF²=20+16=36=PB²，
所以PF⊥BF…（2分）
在图1中，利用勾股定理，得EF＝√(62+(12−3−4)2)＝√(61)，
在△PEF中，EF²+PF²=61+20=81=PE²，
∴PF⊥EF…（4分）
又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，
∴PF⊥平面ABED．…（6分）
（Ⅱ） 当Q为PA的三等分点（靠近P）时，FQ∥平面PBE．
证明如下：
∵AQ＝(2)/(3)AP，AF＝(2)/(3)AB，
∴FQ∥BP…（8分）
又∵FQ不包含于平面PBE，PB⊂平面PBE，
∴FQ∥平面PBE．…（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知PF⊥平面ABED，
∴PF为三棱锥P-ABE的高．…（11分）
设点A到平面PBE的距离为h，
由等体积法得V_A-PBE=V_P-ABE，…（12分）
即(1)/(3)×S△PBEh＝(1)/(3)×S△ABE•PF，
又S△PBE＝(1)/(2)×6×9＝27，S△ABE＝(1)/(2)×12×6＝36，
∴h＝(S△ABE•PF)/(S△PBE)＝(36×2√(5))/(27)＝(8√(5))/(3)，
即点A到平面PBE的距离为

8

作业帮用户 2017-10-02

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议