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如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.(1)求证:AB⊥BC;(2)若设二面角S-BC-A为45°,SA=BC,求二面角A-SC-B的大小.
题目详情
如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若设二面角S-BC-A为45°,SA=BC,求二面角A-SC-B的大小.
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若设二面角S-BC-A为45°,SA=BC,求二面角A-SC-B的大小.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:作AH⊥SB于H,
∵平面SAB⊥平面SBC,
∴AH⊥平面SBC.
又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.
SA在平面SBC上的射影为SH,
∴BC⊥SB.又SA∩SB=S,
∴BC⊥平面SAB.
∴BC⊥AB.
(2)∵SA⊥平面ABC,
∴平面SAB⊥平面ABC.又平面SAB⊥平面SBC,
∴∠SBA为二面角S-BC-A的平面角.
∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a.
作AE⊥SC于E,连接EH,则EH⊥SC,∠AEH为二面角A-SC-B的平面角,
AH=
a,AC=
a,SC=
a,AE=
a,
∴sin∠AEH=
,二面角A-SC-B为60°.
∵平面SAB⊥平面SBC,
∴AH⊥平面SBC.
又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.
SA在平面SBC上的射影为SH,
∴BC⊥SB.又SA∩SB=S,
∴BC⊥平面SAB.
∴BC⊥AB.
(2)∵SA⊥平面ABC,
∴平面SAB⊥平面ABC.又平面SAB⊥平面SBC,
∴∠SBA为二面角S-BC-A的平面角.
∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a.
作AE⊥SC于E,连接EH,则EH⊥SC,∠AEH为二面角A-SC-B的平面角,
AH=
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∴sin∠AEH=
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