在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=BA=BC=1，∠B1BC=60°，∠ABC=90°，平面BB1C1C⊥平面ABC，M、N分别是BC的三等分点．（1）求证：A1N∥平面AB1M；（2）求证：AB⊥B1M；（3）求三棱锥A-B1BC的体积V．

Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BA=BC=1，∠B₁BC=60°，∠ABC=90°，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，M、N分别是BC的三等分点．

（1）求证：A₁N∥平面AB₁M；
（2）求证：AB⊥B₁M；
（3）求三棱锥A-B₁BC的体积V．

Answer 1

解（1）连A₁B交AB₁与O，连OM，
则OM为△A₁BN的中位线
∴OM∥A₁N
∵A₁N⊈平面AB₁M，OM⊂平面AB₁M
∴A₁N∥平面AB₁M．
（2）∵平面BB₁C₁C⊥平面ABC，而∠ABC=90°
∴AB⊥BC，AB⊂平面ABC
∴AB⊥平面BB₁C
∵B₁M⊂平面BB1C₁C
∴AB⊥B₁M．
（3）∵AB⊥平面BB₁C₁C
∴V=(1)/(3)×((1)/(2)× 1×1×sin60°)×1＝(√(3))/(12)