如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G．（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面A1C1G．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA₁，AC，BB₁的中点，且CG⊥C₁G．

（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF； 
（Ⅱ）求证：CG⊥平面A₁C₁G．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG．
∵E，G分别是AA₁，BB₁的中点，
∴AE∥BG且AE=BG，∴四边形AEGB是矩形．
∴D是AG的中点（3分）
又∵F是AC的中点，
∴DF∥CG（5分）
则由DF⊂平面BEF，
CG⊄平面BEF，
∴CG∥平面BEF，
（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面A₁B₁C₁，
∴C₁C⊥A₁C₁．
又∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，
即C₁B₁⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥面B₁C₁CB（9分）
而CG⊂面B₁C₁CB，
∴A₁C₁⊥CG（12分）
又CG⊥C₁G，∴
CG⊥平面A₁C₁G（14分）