如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长AB=a且PD=a，PA=PC=2a，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径．（提示：PD是四棱锥P-ABCD的高）

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长AB=a且PD=a，PA=PC=√(2)a，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径．（提示：PD是四棱锥P-ABCD的高）

Answer 1

设放入的球的半径为R，球心为S，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大．
连接SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高均为R，底面为原四棱锥的侧面或底面．
由体积关系，得V_P-ABCD=(R)/(3)（S_△PAB+S_△PBC+S_△PCD+S_△PAD+S_{正方形ABCD}）
=(R)/(3)((√(2))/(2)a2+(√(2))/(2)a2+(1)/(2)a2+(1)/(2)a2+a2)=(R)/(3)(2+√(2))a2，
∵V_P-ABCD=(1)/(3)PD•S正方形ABCD=(1)/(3)a3，
∴(1)/(3)a3=(R)/(3)(2+√(2))a2，
解得R=(2−√(2))/(2)a．
∴球的最大半径是(2−√(2))/(2)a．