如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=6．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；（Ⅱ）求三棱锥M-PAB的体积．

Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=√(6)．

（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱锥M-PAB的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）证法一：连结AC，
由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，PA=AC，PD=CD，
∵M为PC的中点，∴PC⊥AM，PC⊥DM，
又AM，DM⊂平面AMD，AM∩DM=M，
∴PC⊥平面AMD，
又AD⊂平面AMD，∴PC⊥AD．
证法二：取AD的中点O，连结OP，OC，AC，
由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，
又OC∩OP=O，OC，OP⊂平面POC，
∴AD⊥平面POC，
又OP⊂平面POC，∴PC⊥AD．
（Ⅱ）∵VM-PAB=(1)/(2)VP-ABC，PO=OC=√(3)，PC=√(6)，
∴PO²+OC²=PC²，∴PO⊥OC，
又OP⊥AD，OC∩AD=O，OC，AD⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又S△ABC=(1)/(2)×2×2×sin60°=√(3)，
∴三棱锥M-PAB的体积VM-PAB=(1)/(2)×(1)/(3)×S△ABC×PO=(1)/(2)×(1)/(3)×√(3)×√(3)=(1)/(2)．