三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．

Question

三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．

Answer 1

如图，过A₁作A₁O⊥底面ABC交底面于O，
过A₁作A₁E⊥AB交AB于E，过A₁作A₁F⊥AC交AC于F，
连结EO、FO，由三垂线定理得EO⊥AB，FO⊥AC．
∵AA₁和AB与AC都成60°角，
∴△A₁AE≌△A₁AF．∴A₁E=A₁F．
∵A₁O⊥底面ABC，∴EO=FO．
∴点O在∠BAC的角平分线上．
延长AO交BC于点D，
∵△ABC是正三角形，∴BC⊥AD．∴BC⊥AA₁．
∵AA₁∥BB₁，∴侧面BB₁C₁C是矩形．
∴三棱柱的侧面积为
S=2×(1)/(2)×3×4×sin60°+3×4=12+6√(3)．
∵AA₁=3，AA₁和AB与AC都成60°角，
∴AE=(3)/(2)．
∵∠BAO=30°，∴AO=√(3)，A₁O=√(6)．
∴三棱柱的体积为V=(1)/(3)×(√(3))/(4)×16×√(6)=4√(2)．