已知正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为43274327．

Question

已知正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为

(4√(3))/(27)

(4√(3))/(27)

．

Answer 1

设正四棱锥的底面边长为：a，
所以正四棱锥的高为：√(1−((√(2)a)/(2))2)=√(1−(a2)/(2))．
所以正四棱锥的体积为：V=(1)/(3)a2√(1−(a2)/(2))=(4)/(3)√((1−(a2)/(2))•(a2)/(4)•(a2)/(4))≤(4)/(3)•√(((1−(a2)/(2)+(a2)/(4)+(a2)/(4))/(3))3)=(4√(3))/(27)．
当且仅当1−(a2)/(2)＝(a2)/(4)即a=(2√(3))/(3)时，等号成立，此时正四棱锥的体积最大．
故答案为：(4√(3))/(27)．