如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为2，D为A1C1中点．（Ⅰ）求证；BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）三棱锥B-AB1D的体积．

Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，侧棱长为√(2)，D为A₁C₁中点．

（Ⅰ）求证；BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）三棱锥B-AB₁D的体积．

Answer 1

（Ⅰ）连结A₁B与AB₁交于E，连结DE，则E为A₁B的中点，故DE为△A₁BC₁的中位线，∴BC₁∥DE．
又DE⊂平面AB₁D，BC₁⊄平面AB₁D，∴BC₁∥平面AB₁D．（6分）
（Ⅱ）过点D作DH⊥A₁B₁，∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴AA₁⊥平面A₁B₁C₁，AA₁⊥DH，AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴DH⊥平面ABB₁A₁．DH为三棱锥D-ABB₁的高．（8分）
∵S△ABB1=(1)/(2)•AB•BB1=√(2)MH=(1)/(2)A1B1=√(2)，（10分）
且 DH=A1Dtan(π)/(3)=(√(3))/(2)，
∵VB-AB1D=VD-ABB1=(1)/(3)×(√(3))/(2)×√(2)=(√(6))/(6)．（12分）