已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为正三角形,边长为2,侧棱长为3,D为BB1上,B1D=二分之一BD求AC1与CD所成角的余弦值

Question

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为正三角形,边长为2,侧棱长为3,D为BB1上,B1D=二分之一BD
求AC1与CD所成角的余弦值

Answer 1

几何法求异面直线所成角除了平移直线使它们相交,或者作中位线等一般方法以外,还要记得有三馀弦定理和三棱锥.
三棱锥的求法是这样的,你记下.
三棱锥ABCD中,异面直线AB和CD所成角为θ,则
cosθ=|(AC²+BD²)-(AD²+BC²)|/(2*AB*CD),字母不要看错了
连接C1D,AD,CD,就得到三棱锥ACC1D,现在要求AC1和CD所成角,代入公式
cosθ=|(AC²+C1D²)-(AD²+CC1²)|/(2*AC1*CD)
∵BD=2B1D,BB1=3,∴B1D=1,BD=2
勾股定理得C1D=√5,CD=AD=2√2,AC1=√13
代公式就有cosθ=|(4+5)-(8+9)|/(2*√13*2√2)
cosθ=√26/13