如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且BE=13BC1．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2

Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC₁上一点，且BE=(1)/(3)BC₁．
（1）求证：GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的正切值；
（3）求点B到平面B₁GE的距离．

Answer 1

解法1：（1）延长B₁E交BC于点F，
∵△B₁EC₁∽△FEB，且BE=(1)/(2)EC₁，
∴BF=(1)/(2)B₁C₁=(1)/(2)BC，
∴点F为BC的中点，
∵G为△ABC的重心，
∴A、G、F三点共线，且(FG)/(FA)＝(FE)/(FB1)＝(1)/(3)，
∴GE∥AB₁，
又GE⊄侧面AA₁B₁B，AB₁⊂侧面AA₁B₁B，
∴GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，
∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC，
又侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2，
∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H=√(3)，
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B₁T，
根据三垂线定理可得，B₁T⊥AF，
∵平面B₁CE与底面ABC的交线为AF，
∴∠B₁TH为所求二面角的平面角，
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，
∴HT=AHsin30°=(3)/(2)，
在Rt△B₁HT中，tan∠B1TH＝(B1H)/(HT)＝(2√(3))/(3)，
故平面B₁GE与底面ABC成锐二面角的正切值为(2√(3))/(3)；
解法2：（1）∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，
∴∠A₁AB=60°，
又∵AA₁=AB=2，取AB得中点O，则A₁O⊥底面ABC，
∴以O为原点，以{

OC

，

作业帮用户 2017-09-26

问题解析

解法1：（1）根据BE=(1)/(3)BC₁，利用相似三角形的比例关系，即可证得直线与直线平行，再运用线面平行的判定定理，即可证得结论；
（2）根据二面角的定义，在两个半平面内各找一条直线垂直于二面角的棱，从而找到二面角的平面角，在三角形中求解，即可得到答案；
解法2：（1）建立空间直角坐标系，求出侧面AA₁B₁B的法向量和向量

GE

，判断法向量和向量

GE

垂直，即可证得结论；
（2）求出两个半平面的法向量，利用向量的数量积，求出法向量的夹角的余弦值，再利用法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，即可求得答案；
（3）利用点到面的距离，向量

BG

构造直角三角形，再利用向量

BG

与平面B₁GE的法向量的夹角，在直角三角形中即可求得B到平面B₁GE的距离．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．

考点点评：

本题考查了直线与平面平行的判定，二面角的平面角的寻找以及相关的求解问题，点、线、面之间距离的计算．在求解二面角的时候，一种方法是找出二面角的平面角，然后在三角形中求解即可，另一种方法是运用空间向量，建立直角坐标系进行求解．而点到面的距离的求解，一种方法是运用等体积法，另一种是运用空间向量进行求解．属于中档题．

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