如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：AB⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，E、F分别为A₁C₁、BC的中点．
（1）求证：AB⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：C₁F∥平面ABE．

Answer 1

（1）证明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱BB₁垂直于底面ABC，
所以BB₁⊥AB，又AB⊥BC，BB₁∩BC=B，
则有AB⊥平面B₁BCC₁；
（2）证法一、取AB中点G，连接EG，FG，
由于E、F分别为A₁C₁、BC的中点，所以FG∥AC，FG=(1)/(2)AC，
因为AC∥A₁C₁，且AC=A₁C₁，所以FG∥EC₁，且FG=EC₁，
所以四边形FGEC₁为平行四边形，所以C₁F∥EG，
又因为EG⊂平面ABE，C₁F⊄平面ABE，
所以C₁F∥平面ABE；
证法二、取AC中点H，连接FH和C₁H，
因为F，H分别是BC，AC的中点，
所以HF∥AB，HF⊄平面ABE，AB⊂ABE，
所以HF∥平面ABE，
又由AE∥C₁H，也可得到C₁H∥平面ABE，
又C₁H∩HF=H，所以平面C₁HF∥平面ABE，
因为C₁F⊂平面C₁HF，所以C₁F∥平面ABE．