（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=22．（1）证明：DE∥

Question

（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=(√(2))/(2)．
（1）证明：DE∥平面BCF；
（2）证明：CF⊥平面ABF；
（3）当AD=(2)/(3)时，求三棱锥F-DEG的体积V_F-DEG．

Answer 1

（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴(AD)/(DB)＝(AE)/(EC)，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，
∴DE∥BC．
又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，
∴DE∥平面BCF．
（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且BF＝CF＝(1)/(2)．
∵在三棱锥A-BCF中，BC＝(√(2))/(2)，∴BC²=BF²+CF²，∴CF⊥BF②．
又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．
∴VF−DEG＝VE−DFG＝(1)/(3)•(1)/(2)•DG•FG•GE=(1)/(3)•(1)/(2)•(1)/(3)•((1)/(3)•(√(3))/(2))•(1)/(3)＝(√(3))/(324)．