如图所示，三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=32，PB=3

Question

如图所示，三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= (3)/(2)，PB= (3√(3))/(2)，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为___．

Answer 1

由题意，PA²+PB²=AB²，因为

AB⊥DE

AB⊥DC

ED∩DC=D

，∴AD⊥面DEC，
∵AD⊂PAB，AD⊂ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，
在CD上取点O₁，使O₁为等边三角形ABC的中心，
∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O₁作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．
∵∠EDC=90°，∴∠ODO1=300，
又∵DO1=(1)/(3)CD=(√(3))/(2)，∴OO₁=(1)/(2)，三棱锥P-ABC的外接球的半径R=√(OO12+CO12)=(√(13))/(2)，
三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=13π，
故答案为：13π．