已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足BA=BC=6，∠ABC=π2，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A.8πB.16πC.163πD.323π

Question

已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足BA=BC=

√(6)，∠ABC=(π)/(2)，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（　　）

A. 8π

B. 16π

C.

(16)/(3)π

D.

(32)/(3)π

Answer 1

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC为截面圆的直径，故外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，
∴当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为PD，
∴(1)/(3)×(1)/(2)×√(6)×√(6)×PD=3，解得PD=3，
设外接球的半径为R，则OD=3-R，OC=R，
在△ODC中，CD=(1)/(2)AC=√(3)，
由勾股定理得：（3-R）²+3=R²，解得R=2．
∴外接球的体积V=(4)/(3)×π×23=(32π)/(3)．
故选：D．