已知三棱锥A-BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC=2，AD⊥平面BCD，AD=1．（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；（2）若E为AB中点，求点A到平面CED的距离．

Question

已知三棱锥A-BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC=2，AD⊥平面BCD，AD=1．

（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）若E为AB中点，求点A到平面CED的距离．

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩AD=A，∴BC⊥平面ACD，BC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD．（6分）
（2） 由已知可得CD=√(3)，取CD中点为F，连接EF，
∵ED=EC=(1)/(2)AB=√(2)，∴△ECD为等腰三角形，
从而EF=(√(5))/(2)，S△ECD=(√(15))/(4)，
由（1）知BC⊥平面ACD，∴点E到平面ACD的距离为1，S△ACD=(√(3))/(2)，
令A到平面CED的距离为d，则VA-ECD=(1)/(3)•S△ECD•d=VE-ACD=(1)/(3)•S△ACD•1，解得d=(2√(5))/(5)．（12分）