如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1-EBFD1的体积．

Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA₁与CC₁的中点，求四棱锥的A₁-EBFD₁的体积．

Answer 1

法一：∵EB=BF=FD₁=D₁E=√(a2+((a)/(2))2)=(√(5))/(2)a，
∴四棱锥A₁-EBFD₁的底面是菱形．（2分）
连接A₁C₁、EF、BD₁，则A₁C₁∥EF．
根据直线和平面平行的判定定理，A₁C₁平行于A₁-EBFD₁的底面，
从而A₁C₁到底面EBFD₁的距离就是A₁-EBFD₁的高（4分）
设G、H分别是A₁C₁、EF的中点，连接D₁G、GH，则FH⊥HG，FH⊥HD₁
根据直线和平面垂直的判定定理，有FH⊥平面HGD₁，
又，四棱锥A₁-EBFD₁的底面过FH，根据两平面垂直的判定定理，
有A₁-EBFD₁的底面⊥平面HGD₁．作GK⊥HD₁于K，
根据两平面垂直的性质定理，有GK垂直于A₁-EBFD₁的底面．（6分）
∵正方体的对角面AA₁CC₁垂直于底面A₁B₁C₁D₁，∴∠HGD₁=90°．
在Rt△HGD₁内，GD₁=(√(2))/(2)a，HG=(1)/(2)a，HD₁=(BD1)/(2)=(√(3))/(2)a．
∴(√(3))/(2)a•GK=(1)/(2)a•

作业帮用户 2017-11-11

问题解析

法一：判断四棱锥A₁-EBFD₁的底面是菱形，连接A₁C₁、EF、BD₁，说明A₁C₁到底面EBFD₁的距离就是A₁-EBFD₁的高，求出底面S菱形EBFD1，高的大小，即可得到棱锥的体积．
法二：三棱锥A₁-EFB与三棱锥A₁-EFD₁等底同高，棱锥VA1−EBFD1转化为2•

(1)/(3)•S△EBA1•a，求解即可．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力．

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