早教吧作业答案频道 -->数学-->
如图,三棱锥P-ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,点F在PA上,且2PF=FA.(1)求证:平面PAC⊥平面BEF;(2)求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.
题目详情
如图,三棱锥P-ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,点F在PA上,且2PF=FA.
(1)求证:平面PAC⊥平面BEF;
(2)求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.
(1)求证:平面PAC⊥平面BEF;
(2)求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵PB⊥底面ABC,且AC⊂底面ABC,∴AC⊥PB,
由∠BCA=90°,可得AC⊥CB,
又∵PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC,
∵BE⊂平面PBC,∴AC⊥BE,
∵PB=BC,E为PC中点,∴BE⊥PC,
∵AC∩PC=C,∴BE⊥平面PAC,
∵BE⊂平面BEF,∴平面PAC⊥平面BEF;
(2) 取AF的中点G,AB的中点M,连接CG,CM,GM,
∵E为PC的中点,2PF=AF,∴EF∥CG,
∵CG⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,
∴CG∥平面BEF.
同理可证:GM∥平面BEF,∵CG∩GM=G,∴平面CMG∥平面BEF.
则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角(锐角)就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角(锐角).
∵PB⊥底面ABC,CM⊂平面ABC
∴CM⊥PB,
∵CM⊥AB,PB∩AB=B,∴CM⊥平面PAB,
∵GM⊂平面PAB,∴CM⊥GM,
而CM为平面CMG与平面ABC的交线,
又AM⊂底面ABC,GM⊂平面CMG,∴∠AMG为二面角G-CM-A的平面角
根据条件可知AM=
,AG=
PA=
,
在△PAB中,cos∠GAM=
=
,
在△AGM中,由余弦定理求得MG=
,∴cos∠AMG=
,
故平面ABC与平面PEF所成角的二面角(锐角)的余弦值为
.
由∠BCA=90°,可得AC⊥CB,
又∵PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC,
∵BE⊂平面PBC,∴AC⊥BE,
∵PB=BC,E为PC中点,∴BE⊥PC,
∵AC∩PC=C,∴BE⊥平面PAC,
∵BE⊂平面BEF,∴平面PAC⊥平面BEF;
(2) 取AF的中点G,AB的中点M,连接CG,CM,GM,
∵E为PC的中点,2PF=AF,∴EF∥CG,
∵CG⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,
∴CG∥平面BEF.
同理可证:GM∥平面BEF,∵CG∩GM=G,∴平面CMG∥平面BEF.
则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角(锐角)就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角(锐角).
∵PB⊥底面ABC,CM⊂平面ABC
∴CM⊥PB,
∵CM⊥AB,PB∩AB=B,∴CM⊥平面PAB,
∵GM⊂平面PAB,∴CM⊥GM,
而CM为平面CMG与平面ABC的交线,
又AM⊂底面ABC,GM⊂平面CMG,∴∠AMG为二面角G-CM-A的平面角
根据条件可知AM=
2 |
1 |
3 |
2
| ||
3 |
在△PAB中,cos∠GAM=
AB |
AP |
| ||
3 |
在△AGM中,由余弦定理求得MG=
| ||
3 |
| ||
3 |
故平面ABC与平面PEF所成角的二面角(锐角)的余弦值为
| ||
3 |
看了 如图,三棱锥P-ABC中,P...的网友还看了以下:
上图中A面的面积是24平方米,B面的面积是16平方米,h是0.5米.现在把A处的土堆到B处,使A、 2020-05-13 …
如果∠a减去它的1/3后与∠B互余,∠B的3倍与脚A互补,求这两个角如果∠a减去它的1/3后与∠B 2020-05-14 …
质量为m的物体A以加速度a沿倾角为θ,质量为M的粗糙斜面体B从静止开始下滑.求(1)地面对斜面体B 2020-05-15 …
在平面直角坐标系中有两点A(a,6)和B(a+8,b)已知A在第二、四象限的角平分线上,且直线AB 2020-05-16 …
物块A在斜面体B上,斜面体在水平衡力F拉动下沿水平地面匀速向左运动过程中,A,B相对静止.则A,B 2020-05-17 …
己知A面和B面的面积分别是24平方米、16平方米、高为0.5米,现在要把A地的土往B地运,使A、B 2020-05-19 …
有6堆桃,把第一堆平均分给8个人,还余5个;把第二堆平均分给8个人,还剩4个;把第三堆平均分给8㐃 2020-06-14 …
五年级数学简易方程两面三角形的旗子,其中A面旗的底是B面旗对应底的2倍,A面旗底上的高是B面旗对应 2020-06-27 …
如果么∠A与∠B是邻补角,且∠A>∠B,那么∠B的余角是()A.(∠A+∠B)B.∠AC.(∠A+ 2020-07-30 …
下列命题中,真命题的个数是()①a∥b,a,c异面,则b、c异面②a,b共面,b、c异面,则a、c 2020-08-01 …