已知：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）求二面角F-AE-C的大小．

Question

已知：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求二面角F-AE-C的大小．

Answer 1

（1）由题设条件知，棱锥的高为PA=2，
由底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，可解得底面四边形ABCD的面积是2×2×sin60°=2√(3)
故VP−ABCD＝(4√(3))/(3)（4分）
（2）取AC的中点O，连接FO，
∵F为PC中点，
∴FO∥PA且FO＝(1)/(2)PA，又PA⊥平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD．（6分）
过O作OG⊥AE于G，则∠FGO就是二面角F-AE-C的平面角．（8分）
由作图及题意可得FO=1，GO＝(1)/(2)，
得tan∠FGO=(FO)/(OG)=2，即二面角的大小为arctan2（14分）