四棱台ABCD-A’B’C’D’中,上下底面都是菱形,P,Q分别是B’C’,C’D’中点,若AA’//平面BPQD,求此棱

Question

四棱台ABCD-A’B’C’D’中,上下底面都是菱形,P,Q分别是 B’C’,C’D’中点,若AA’//平面BPQD,求此棱

Answer 1

PQ的延长线与A'D'的延长线交于E,连接DE,
∵DE在平面BPQD中,DE又在平面ADD'A'中,∴DE是平面BPQD与平面ADD'A'的相交线,
又∵AA'∥平面BPQD,∴AA'∥DE ,（AA'平行于 过AA'的平面与平面BPQD的相交线）；
∴四边形ADEA'是平行四边形,∴A'E=AD ,
∵四棱台ABCD-A‘B‘C'D'中,上下底面都是菱形,
∴∠A'D'B'=∠C'D'B',
P、Q分别是B'C'、C'D'的中点,
∴PQ∥B'D',∴∠D'QE=∠QD'B',∠D'EQ=∠A'D'B',
∴∠D'QE=∠D'EQ,∴D'E=D'Q=D'C'/2=A'D'/2,
∴A'D'/A'E=2D'E/（2D'E+D'E）=2/3 ；
∴A'D':AD=A'D'/A'E=2/3 ；