（9099•安徽模拟）如图，已知四棱台ABCD-A9B9C9D9的侧棱A9A垂直于底面AB-CD，底面ABCD是边长为9的正方形，四边形A9B9C9D9是边长为9的正方形，DD9=9．（9）求证：平面A9ACC9丄平面B9BDD9（9）求四棱锥

Question

（9099•安徽模拟）如图，已知四棱台ABCD-A₉B₉C₉D₉的侧棱A₉A垂直于底面AB-CD，底面ABCD是边长为9的正方形，四边形A₉B₉C₉D₉是边长为9的正方形，DD₉=9．
（9）求证：平面A₉ACC₉丄平面B₉BDD₉
（9）求四棱锥A-CDD₉C₉的体积．

Answer 1

（1）∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD，即BD⊥AA₁，
又底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵AC∩AA₁=A，AC⊂平面A₁ACC₁，AA₁⊂平面A₁ACC₁，
∴BD⊥平面A₁ACC₁．而BD⊂平面B₁BDC₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．
（2）过点A作AH⊥DD₁，交DD₁于点H．
∵AA₁⊥平面ABCD，∴平面A₁ADD₁⊥平面ABCD．
又平面CDD₁C₁∩平面ABCD=AD，CD⊥AD．
∴CD⊥平面A₁ADD₁，∵平面CDD₁C₁∩平面A₁ADD₁=DD₁．
∴AH⊥平面CDD₁C₁．在直角梯形A₁ADD₁中，A₁D₁=1，D₁D=2．AD=2．
∴AH=√(3)．∵CD⊥平面A₁ADD₁．CD⊥DD₁．∴四边形CDD₁C₁为直角梯形，
∵C₁D₁=1．CD=D₁D=2．∴四边形CDD₁C₁的面积S=3．
∴四棱锥A-CDD₁C₁的体积V＝(1)/(3)S•AH＝√(3)．