如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，AB=2A1B1，AA1⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥C1C；（2）求证：C1C∥平面A1BD．

Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是菱形，AB=2A₁B₁，AA₁⊥平面ABCD．

（1）求证：BD⊥C₁C；
（2）求证：C₁C∥平面A₁BD．

Answer 1

证明：（1）∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又 AC∩AA₁=A，∴BD⊥面ACC₁A₁．
由CC₁⊂面ACC₁A₁，
∴BD⊥CC₁．                             
（2）连接AC和A₁C₁，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的
中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A₁B₁，可得 EC∥A₁C₁，且 EC=A₁C₁，
故ECC₁A₁为平行四边形，∴CC₁∥A₁E，而CC₁⊄平面A₁BD，A₁E⊂平面A₁BD，
∴CC₁∥平面A₁BD．