如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2A1B1=2AD=2DD1，∠BAD=60°．（Ⅰ）证明：AA1⊥BD；（Ⅱ）求A1B与面A1ADD1成角的余弦值；（Ⅲ）证明：直线CC1∥平面A1BD．

Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2A₁B₁=2AD=2DD₁，∠BAD=60°．
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BD；
（Ⅱ）求A₁B与面A₁ADD₁成角的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线CC₁∥平面A₁BD．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵D₁D⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥BD．
又AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°，
△ABD 中，由余弦定理得
BD²=AD²+AB²-2AB•ADcos60°=3AD²，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，又 AD∩DD₁=D，∴BD⊥面ADD₁A₁．
由 AA₁⊂面ADD₁A₁，
∴BD⊥AA₁．                             
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD⊥面ADD₁A₁，
∴∠BA₁D即A₁B与面A₁ADD₁成的角，设AB=2，A₁B₁=AD=DD₁=1，
由棱台的定义，A₁D₁=(1)/(2)，D₁D⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥面A₁B₁C₁D₁，Rt△DD₁A₁，A₁D=(√(5))/(2)，
在Rt△ABD中，BD=√(3)，在Rt△BA₁D中，A₁B=(√(17))/(2)，
∴cos∠BA₁D=(A1D)/(A1B)=(√(85))/(17)；
（Ⅲ）证明：连接AC 和A₁C₁，设 AC∩BD=E，
由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的
中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A₁B₁，可得 EC∥A₁C₁，且 EC=A₁C₁，
故ECC₁ A₁ 为平行四边形，
∴CC₁∥A₁ E，而A₁ E⊂平面A₁BD，∴CC₁∥平面A₁BD．