如图所示，一半径为R的光滑半圆柱水平悬空放置，C为圆柱最高点，两小球P、Q用一轻质细线悬挂在半圆柱上，水平挡板AB及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板AB

Question

如图所示，一半径为R的光滑半圆柱水平悬空放置，C为圆柱最高点，两小球P、Q用一轻质细线悬挂在半圆柱上，水平挡板AB及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板AB与半圆柱间有一小孔能让小球通过，两小球质量分别为m_P=m，m_Q=4m，水平挡板到水平面EF的距离为h=2R，现让两小球从图示位置由静止释放，当小球P到达最高点C时剪断细线，小球Q与水平面EF碰撞后等速反向被弹回，重力加速度为g，不计空气阻力，取π≈3．求：

（1）小球P到达最高点C时的速率v_C；
（2）小球P落到挡板AB上时的速率v₁；
（3）小球Q反弹后能上升的最大高度h_max．

Answer 1

（1）半圆半径是R，因为小球A要运动到C．所以A的竖直方向的位移为R，B的位移就要等于A到C的弧长．小球A升至最高点C时两球的速度，且只有重力做功，
以初始位置为0势能面，根据机械能守恒定律得：
0+0=(1)/(2)(m+4m)

v

2 C

+mgR-4mg(2πR)/(4)
解得：vC=√((4πgR-2gR)/(5))≈√(2gR)
（2）小球P经过C点后的运动过程中只有重力做功，由机械能守恒得：
(1)/(2)m

v

2 c

+mgR=(1)/(2)m

v

2 1

整理得：v1=2√(gR)
（3）剪断细绳后Q在运动的过程中机械能守恒，设Q还能上升h′，则：
(1)/(2)•4m

v

2 C

=4mgh′
Q上升的最大高度：h_max=h-(2πR)/(4)+h′
整理得：h_max=1.5R
答：（1）小球P到达最高点C时的速率是√(2gR)；
（2）小球P落到挡板AB上时的速率是2√(gR)；
（3）小球Q反弹后能上升的最大高度是1.5R．