半径为R.均匀带电球面,电荷面密度为a,求其周围电场分布和电势分布,并分析电场和电势最大值和最小值的位还有一题讲球面换成球体、电荷面密度换成电荷体密度、问题一样

Question

半径为R.均匀带电球面,电荷面密度为a,求其周围电场分布和电势分布,并分析电场和电势最大值和最小值的位
还有一题讲球面换成球体、电荷面密度换成电荷体密度、问题一样

Answer 1

【1】均匀带电球面,电场是对称分布的,高斯面的选取就选和带电球面同球心的球面,这样高斯面上的各点的场强大小相等,方向沿着球半径,也就是各点的球面法向方向.高斯面的电场强度通量Φe=∮E×dS（矢量积分)=ES （S为高斯面的面积S=4πr²）,在带电球面里面r＜R,高斯面所包围的电荷为零,在带电球面外面r＞R,高斯面所包围的电荷为带电球面的电荷4πR²σ.
根据高斯定理列式：
r＜R时：Φe=E1S=0 E1=0
r＞R时：Φe=E2S=4πr²E2 =4πR²σ/εo E2=σR²/εo·r²
当σ为正：E最大在 r=R处,带电球面上最大 σ/εo
当σ为负：E最大在∞处,最大值0.
令无穷远处电势为零
在球面内部r＜R,离球心r处电势 Ur=∫E1×dl (r到R积分) +∫E2×dl (R到∞积分)=0+σR/εo
在球面外部r＞R,离球心r处电势 Ur=∫E2×dl (r到∞积分)=σR²/εo·r
当σ为正：U最大在球面和其内部（等势体）,最大值 σR/εo
当σ为负：U最大在∞处,最大值0.
换成球体做法一样,只不过球体内部高斯面所包围的电荷不是零了,是体密度×高斯面包围的球体积.【结果告诉你,自己做一下】
球体：内部r＜R ,E=ρr/3εo,U=ρ(3R²-r²)/6εo
外部r＞R,E=ρR³/3εo·r²,U=ρR³/3εo·r