设C是从球面x2+y2+z2=a2上任一点到球面x2+y2+z2=b2上任一条光滑曲线（a＞0，b＞0），则Cr3（xdx+ydy+zdz）=，其中r=x2+y2+z2．

Question

设C是从球面x²+y²+z²=a²上任一点到球面x²+y²+z²=b²上任一条光滑曲线（a＞0，b＞0），则

C

r³（xdx+ydy+zdz）=______，其中r=√(x2+y2+z2)．

Answer 1

设C的起点为球面x²+y²+z²=a²上的点A，终点为球面x²+y²+z²=b²上的点B
取积分路径从球面x²+y²+z²=a²上的点A沿着球面逆时针方向到A（曲线记为L₁），再到球面x²+y²+z²=b²上的点B，再沿着此球面逆时针到点B（曲线记为L₂），构成一条封闭曲线
利用斯托克斯公式，设曲线所围成的曲面为∑，则

C

r³（xdx+ydy+zdz）=

L1+AB+L2

r³（xdx+ydy+zdz）=

∫∫

.

dydz	dzdx	dxdy
(∂)/(∂x)	(∂)/(∂y)	(∂)/(∂z)
xr3	yr3	zr3

.

=

∫∫

(3yzr−3yzr)dydz+(3zxr−3zxr)dzdx+(3xyr−3xyr)dxdy=0