已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=3，若球O的体积为2053π，则这个直三棱柱的体积等于（）A．2B．3C．2D．5

Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=√(3)，若球O的体积为(20√(5))/(3)π，则这个直三棱柱的体积等于（　　）

A．√(2)
B．√(3)
C．2
D．√(5)

Answer 1

设△ABC和△A₁B₁C₁的外心分别为O₁、O₂，连接O₁O₂，
可得外接球的球心O为O₁O₂的中点，连接OA、OB、OC、O₁A、O₁B、O₁C
△ABC中，cosA=(AB2+AC2−BC2)/(2AB•AC)=-(1)/(2)
∵A∈（0，π），∴A=(2π)/(3)
根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O₁A=(BC)/(2sinA)=1
∵球O的体积为V=(4πR3)/(3)=(20√(5))/(3)π，∴OA=R=√(5)
Rt△O₁OA中，O₁O=√(OA2−O1A2)=2，可得O₁O₂=2O₁O=4
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积S_△ABC=(1)/(2)AB•ACsin(2π)/(3)=(√(3))/(4)
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为S_△ABC×O₁O₂=√(3)
故选：B