正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，

Question

正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为_____

Answer 1

正三角形ABC所在平面可与球截得一个圆形，并且是正三角形的外接圆 过O，作平面ABC垂线，交于P. ∵ OP ⊥ 正三角形ABC, OA=OB=OC ∴ PA = PB = PC ∴ P是外接圆的圆心，正三角形的外接圆称为圆P ∵ 三角形APO是直角三角形 ∴ 圆P的半径是 根号(2^2 - 1^2) = 根号3 ∵ 圆P是ABC的外接圆 ∴ 正三角形ABC的边长= 2 * 根号3 * cos 30 (中线/角平分线/高重合) = 3 ∵ OP ⊥ 正三角形ABC ∴ OP ⊥ BC ∵ AD ⊥ BC ∴ BC ⊥ 平面OPD ∴ OD ⊥ BC ∴ 截面最小的圆，以BC为直径 ∴ 圆面积 = pi * (l / 2) ^ 2 = 9 * pi / 4