试问在一个矢量场内,一个莫比乌斯环面的上的通量如何计算?（只求原则上的算法,并不要具体细节）

Question

试问在一个矢量场内,一个莫比乌斯环面的上的通量如何计算?（只求原则上的算法,并不要具体细节）

Answer 1

（只求原则上的算法,并不要具体细节）首先,对于一般曲面而言,不管是闭曲面(closed)还是开放曲面(open),尽管计算时面元dA的正方向（这里的“面元”是说无限小面dA的法矢）可以任意选取,但是一旦某一个面元的正方向已经选定,则任何其他面元的方向必须与之一致!（举个例子,对于一个一般的环面,我若是规定一个面元的正方向为“指向外部”,则其他所有面元的正方向都必须为“指向外部”,反之亦然）.因此,在一个确定的矢量场中的任何曲面,其通量的正负号虽然可以人为规定,但是其绝对值一定是一个唯一的值.现在来讨论莫比乌斯环面.该环面的一个很诡异的性质是：它似乎只有一个面!而不存在一般的环面所具有的正反两面.（假设你从上任意一顺着环的方向走,你最终一定会经过环面上的任何一个处,并且不走重路地回到起点.也就是说,你若是要走完一个一般环的所有部分,你必须有一个从正面跳到反面（或反过来）的过程,但是对于莫比乌斯环,这个过程竟然神不知鬼不觉的消失了!）这样的话,麻烦事就来了.对于一个“正常”的面而言,总存在正反两面,这样的话对于所有面元dA的正方向选取便只有两种可能.由一致性原则可知,dA的正方向要么全部“从正面出发指向外部”,要么“从反面出发指向外部”.不管我以哪一个dA为“参考标准”,所得到的结果只有两种可能,不会影响绝对值.即便是对一个环面,甚至是闭合面都是如此的.但是对于莫比乌斯环面,则根本无法辨别“正面”和“反面”!也许你会说,这要什么紧,照普通的面一样做不就行了?okay,那么我们开始.首先,找到一个面元dA,并规定好其正方向,那么由于一致性,其他各面元的正方向也就随之确定了吧,那么好,我们就沿着环面一路确定下去.走啊走,我们又回到了最初被确定的那个dA.oh god!发现问题了吗?dA的两侧的正方向居然截然相反!特别是dA附近的面元,你甚至无法规定其正方向!唯一的结论是,莫比乌斯环面的面元正方向根本无法规定,或是说有无数种可能.那么,试问讨论莫比乌斯环面上的通量,究竟是否还有意义?我来回答匿名