如图，玻璃球冠的折射率为3，其底面镀银，底面的半径是球半径的32倍；在过球心O且垂直于底面的平面（纸面）内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底

Question

如图，玻璃球冠的折射率为√(3)，其底面镀银，底面的半径是球半径的(√(3))/(2)倍；在过球心O且垂直于底面的平面（纸面）内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点．求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角．

Answer 1

设球半径为R，球冠地面中心为O′，连接OO′，则OO′⊥AB
令∠OAO′=α
则：cosα=(O′A)/(OA)=((√(3))/(2)R)/(R)=(√(3))/(2)…①
即∠OAO′=α=30°…②
已知MA⊥AB，所以∠OAM=60°…③
设图中N点为光线在球冠内地面上的反射点，光路图如图所示．
设光线在M点的入射角为i，折射角为r，在N点的入射角为i′，反射角为i″，玻璃的折射率为n．
由于△OAM为等边三角形，所以入射角i=60°…④
由折射定律得：sini=nsinr…⑤
代入数据得：r=30°…⑥
作N点的法线NE，由于NE∥MA，所以i′=30°…⑦
由反射定律得：i″=30°…⑧
连接ON，由几何关系可知△MAN≌△MON，则∠MNO=60°…⑨
由⑦⑨式可得∠ENO=30°
所以∠ENO为反射角，ON为反射光线．由于这一反射光线垂直球面，所以经球面再次折射后不改变方向．
所以，该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角为β=180°-∠ENO=150°．
答：光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角为150°