请举例：如果f(x)的极限存在,[f(x)+g(x)]的极限也存在,那么g(x)的极限是否也必须存在?举例子才给分.x可以趋向于无穷大也可以是趋向于特定值.

Question

请举例：如果f(x)的极限存在,[f(x)+g(x)]的极限也存在,那么g(x)的极限是否也必须存在?
举例子才给分.
x可以趋向于无穷大也可以是趋向于特定值.

Answer 1

用反证法：设f(x)+g(x)有极限,则有函数的极限的四则运算法则：lim[f(x)-g(x)]=limf(x)-limg(x)所以有lim[f(x) +g(x)-f(x)]=limg(x)=lim[f(x)+g(x)]-limf(x)又f(x),f(x)+g(x)都有极限,故g(x)有极限,矛盾
令h(x)=f(x)+g(x)
假设x趋于a时h(x)极限存在,则由极限定义：
g(x)=h(x)-f(x)在x趋于a时极限存在,与已知的g(x)极限不存在矛盾.
故h(x)极限不存在.