关于一个求“极限“的经典问题!limx/（（1+x）^x））-x/e(x趋于正无穷).limx/（（1+1/x）^x））-x/e

Question

关于一个求“极限“的经典问题!
lim【x/（（1+x）^x））-x/e】
(x趋于正无穷).
lim【x/（（1+1/x）^x））-x/e】

Answer 1

lim【x/（（1+1/x）^x））-x/e】是吧?
首先通分后,显然他等于limx(e-(1+1/x）^x)/e^2
然后令x=1/q,则x趋于正无穷相当于q趋于0+
limx(e-(1+1/x）^x)/e^2
=lim(e-(1+q)^(1/q))/q/e^2
=-lim((1+q)^(1/q)/e-1)/q/e
lz应该知道当x趋于0时,ln(x+1)和x是等价无穷小吧?也就是说由于(1+q)^(1/q)/e-1趋于0,所以ln((1+q)^(1/q)/e)和(1+q)^(1/q)/e-1是等价无穷小
这样就只要求
-lim(ln(1+q)/q-1)/q/e=lim(q-ln(1+q))/q^2/e就行了
由罗比达法则知lim(q-ln(1+q))/q^2=lim(1-1/(q+1))/(2q)=1/2
所以所求为1/(2e)