（tantanx-sinsinx）/x^3当x趋近于0时候的极限,方法越简单越好哦~最好说一下等价无穷小可以代换的条件,万分感激~

Question

（tantanx-sinsinx）/x^3当x趋近于0时候的极限,方法越简单越好哦~
最好说一下等价无穷小可以代换的条件,万分感激~

Answer 1

lim(x-->0)（tantanx-sinsinx）/x^3
=lim(x-->0)（tanx-sinx）/x^3
=lim(x-->0)（sec²x-cosx）/(3x^2)
=lim(x-->0)[（1-2sec³x)sinx]/(6x)
=1/6lim(x-->0)[6sec⁴xsin²x+(1-2sec³x)cosx]
=1/6*(1-2)=-1/6
∵lim(x-->0)(tanx)/x=lim(x-->0)sec²x=1
∴tanx与x为等价无穷小
∵lim(x--->0)sinx/x=1
∴sinx与x为等价无穷小