请帮忙求极限:lim[(a+x)^x-a^x]/x^2,x趋于0.答案是1/a.但不知过程.本来尝试用洛比达法则,但分子越求导越繁.泰勒公式不知怎么用到(a+x)^x上.

Question

请帮忙求极限:lim[(a+x)^x-a^x]/x^2,x趋于0.
答案是1/a.但不知过程.本来尝试用洛比达法则,但分子越求导越繁.泰勒公式不知怎么用到(a+x)^x上.

Answer 1

兄弟你做题太没有信心了 泰勒明显用不上就洛比达法则嘛...才导了两下就出来了
f(x)=[(a+x)^x-a^x]
g(x）=x^2
注意到0代进去都是0,用洛比达
f'(x)=(x+a)^x[ln(x+a)+x/(x+a)]-a^xlna
g'(x)=2x
注意到0代进去都是0,用洛比达
f''(x)=(x+a)^x[ln(x+a)+x/(x+a)]^2+(x+a)^x[1/(x+a)+a/(x+a)^2]-a^x(lna)^2
g''(x)=2
从g''(x)就可以猜测这道题到底了,不然中国是不会出给你做的
代进去f''(0)=2/a
所以极限是1/a (a不为0)