解下列微分方程,d平方y(t)/dt平方+5dy(t)/dt+6y(t)=6,已知初始条件：y(0)=y'(0)=2

Question

解下列微分方程,d平方y(t)/dt平方+5dy(t)/dt+6y(t)=6,已知初始条件：y(0)=y'(0)=2

Answer 1

这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,解的形式为对应的齐次方程的通解与一个特解的和. 齐次方程的通特征方程为r^2+5r+6=0,即(r+2)(r+3)=0, 解得r1=-2,r2=-3. 所以通解为C1e^（-2x）+C2e^（-3x）其中C1,C2为未确定的常数.这些都是公式,要记住的. 求特非齐次项是个6,它满足e^(λx)P(x)的形式,其中λ=0,P(x)=6.特解可以写成y*=x^kQ(x)e^λx,其中Q(x)为和P(x)同次的函数,本题中为常数,设为b.又因为λ=0不是特征方程的解,所以k=0,所以特解的形式为y*=b.它的一阶导数和二阶导数均为0,将特解代入原方程,即0+0+6b=6 解出b=1. 得到y(t)=C1e^（-2t）+C2e^（-3t）+1.y'(t)=-2C1e^(-2t)-3C2e^(-3t).又因为y(0)=y'(0)=2,所以C1+C2+1=2,-2C1-3C2=2,解得C1=5,C2=-4.
所以最后的解为：y(t)=5e^（-2x）-4e^（-3x）+1.