求微分方程y’=（x^2+3y^2)/2xy的通解.

Question

求微分方程y’=（x^2+3y^2)/2xy的通解.

Answer 1

对于 y'=dy/dx=(x²+3y²)/2xy
先变化成 dy/dx=(x/y+3y/x)/2 (1) 的形式,
可以设 u=x/y,y=xu,
可得 dy/dx=u+xdu/dx (2)
将(2)代入原式(1)得
u+xdu/dx=(u+3/u)/2
化简成 2udu/(3-u²)=(dx)/x
就是 du²/(3-u²)=dx/x
-ln(3-u²)=lnx+c
可化成最后通解式
lnx+2ln(3-y²/x²)=c
就是 e^c=(3x²-y²)²/x³
因为e^c中c是常数,因而e^c也是常数,
所以有 (3x²-y²)²/x³+C=0