帮求微分方程求微分方程(x^2-y^2-2y)dx+(x^2+2x-y^2)dy=0的通解.rcht是什么....原谅我的无知。2.r不是常数么？怎么一楼的解答里面出来个dr...我怎么化也化不出那个结果。

Question

帮求微分方程
求微分方程(x^2-y^2-2y)dx+(x^2+2x-y^2)dy=0的通解.
rcht是什么....原谅我的无知。
2.r不是常数么？怎么一楼的解答里面出来个dr...我怎么化也化不出那个结果。

Answer 1

令x=rcht,y=rsht,则原方程化为
(r^2)(exp(t)(rdt+dr)+2dt)=0,如果r恒为0,那么x恒等于y或者x恒等于-y,符合题意,不然则令s=exp(t)>0,方程化为
d(rs)/ds=-2/s,
从而rs=-2lns+C,即r=exp(-t)(-2t+C),其中C是常数,带回x=rcht,y=rsht即可.
回复问题补充：cht和sht的说明,楼上两位已经解释了,cht=(exp(t)+exp(-t))/2,sht=(exp(t)-exp(-t))/2,其中exp(t)表示e^t.
这里r不是常数.平常,将x、y两个变量作极坐标变换x=rcost,y=rsint的时候,r也不是常数,这里也一样.是将x、y两个变量变成r、t两个变量.